Раш выиграл двенадцать блюзовых музыкальных наград ( Blues Music Awards), а в 2017 году, в возрасте 83 лет, он получил свою первую премию Грэмми за альбом Porcupine Meat. Он включен в Зал Славы Блюза, Зал славы музыкантов Миссисипи и Зал славы ритм-энд-блюза.

Раш-сын Эммета и Мэтти Эллис. Его отец был пастором, который играл на гитаре и губной гармонике и оказал самое раннее музыкальное влияние на ребенка. Еще в детстве он начал экспериментировать с музыкой, используя ведерко для сахарного сиропа и проволочный лук Диддли.

Примерно в 1947 году он с семьей переехал в Пайн-Блафф, штат Арканзас, где его отец был пастором церкви и фермером.

Именно здесь Раш подружился с Элмором Джеймсом, слайд гитаристом Бойдом Гилмором (двоюродным братом Джеймса) и пианистом Джонни "Большим Лосем" Уолкером; в конце концов он создал группу, где пел, играл на губной гармошке и гитаре.

Его группа, Бобби Раш и четыре Дживера (Bobby Rush and the Four Jivers), состояла из Гилмора, Уокера, Пайнтопа Перкинса и Роберта Планкетта. Через Гилмора Раш подружился с музыкантом из Кларксдейла Айком Тернером.

Будучи еще подростком, Раш наклеивал фальшивые усы, чтобы несовершеннолетнему получить возможность играть в местных музыкальных заведениях. Его семья переехала в Чикаго в 1953 году, где он стал частью местной блюзовой сцены .

В Чикаго он познакомился и подружился с Литл Уолтером и Мадди Уотерсом, которые жили неподалеку. Малыш Уолтер устроил его на работу в клуб под названием "Скины", где они играли за занавесом для белой публики и начал работать на Джимми Рида. Благодаря новым связям он начал выступать на одной сцене с Эттой Джеймс, Хоулином Вулфом, Мадди Уотерсом и Джимми Ридом.

В начале 1970-х годов он написал песню "Chicken Heads", выпущенную Galaxy, которая станет его первым хитом. В 1971 году он достиг с ней 34-го места в чарте Billboard R&B. "Chicken Heads" станет первым сертифицированным золотым треком Rush в 1971 году, а позже снова войдет в чарты Billboard через 30 лет после выхода в результате цитирования в фильме Black Snake Moan.

Позже Раш записался с ведущим лейблом для черной музыки, Philadelphia International, выпустив свой первый альбом, Rush Hour, спродюсированный Леоном Хаффом. Один трек "I Wanna Do the Do", достиг 75-го места в чарте Billboard R&B в 1979 году.

Рецензируя Rush Hour в справочнике Christgau " Record Guide: Rock Albums of the Seventies "(1981), Роберт Кристгау написал: "многое из этого—забавно-я рад, что Леон Хафф сотрудничает с кем-то, у кого есть фанк в душе, и рад услышать песню протеста о проблеме потерянных ключей. Но много и — безмозглости, глупости и бесхарактерности."

Его следующие альбомы, которые станут золотыми , - Sue в 1981 году и Ain't Studdin' Ya в 1991 году.

Прожив в Чикаго 48 лет, Раш переехал в Джексон, штат Миссисипи, чтобы поискать там корни своих порабощенных предков.
Он записал серию пластинок для лейбла LaJam, Malaco Waldoxy imprint, а в 2003 году-начал осваивать свой собственный лейбл Deep Rush с партнером Грегом Престоном, бывшим исполнительным директором Malaco Records.

Раш появился в документальном фильме 2003 года "Дорога в Мемфис", который является частью серии "Блюз", спродюсированной Мартином Скорсезе. После фильма Скорсезе журнал Rolling Stone назвал его "королем Читлинского округа" с учётом его 50 лет неустанных гастролей и красочных живых шоу."

Его альбом 2004 года FolkFunk был возвращением к более корневому звучанию, с участием гитариста Элвина Янгблада Харта. В том же году он был судьей второй ежегодной независимой музыкальной премии в поддержку карьеры независимых артистов.

Он также выступал в Белом доме вместе с Джеймсом Брауном, на инагурации Билла Клинтона. В 2014 году он снова выступал для Билла и Хиллари Клинтон на государственном мероприятии в Арканзасе.

В 2007 году он стал первым блюзовым артистом, выступившим в Китае, за что получил титул “Международный декан блюза". Был назначен послом дружбы отыграв большой концерт на Великой Китайской стене.

Кроме того, Раш гастролировал на большинстве крупных рынков по всему миру, включая Сидней, Австралия; Париж, Франция; Токио, Япония; Шанхай, Китай; Йоханнесбург, Южная Африка; Берлин, Германия; Рим, Италия; Барселона, Испания; Люцерн, Швейцария; Нью-Йорк, Нью-Йорк; Чикаго, Иллинойс; Мемфис, Теннесси; Лос-Анджелес, Калифорния; в Джексон, штат Миссисипи.

В 2014 году альбом Раша Down in Louisiana был номинирован на премию Грэмми в номинации "Лучший блюзовый альбом" и получил награду Blues Music Award в категории "Soul Blues Album of the Year", в то время как Раш также был номинирован в двух других категориях. После номинации "Грэмми" в 2014 году Раш был снова номинирован на "лучший блюзовый альбом" в 2015 году .

В июле 2014 года Раш исполнил вместе с Дэном Эйкройдом одну из песен Джеймса Брауна на вечернем шоу с Джимми Фэллоном

Он появляется в документальном фильме 2015 года "Я-Блюз" и - в качестве самого себя, исполняя "I'm not Studdin' You " в фильме 2019 года Dolemite Is My Name.